\documentclass[12pt]{ctexart}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}
\geometry{a4paper, margin=1in}
\usepackage{palatino} % 使用更专业的字体

\title{混合动力无人机供应侧的详细状态空间模型}
\author{一个跨学科的讲解}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\section{引言：从抽象功率到物理控制}
从高层级的功率指令过渡到物理上可实现的控制输入，是设计鲁棒控制器的关键一步。这要求我们对调节能量流动的电力电子器件进行建模。在此，我们从两个互补的视角——物理学教授（关注第一性原理）和自动化教授（关注为控制而建模）——对供应侧的状态方程进行详细推导和讲解。

\subsection{物理学教授的观点：第一性原理}
电源系统是一个由能量水库（燃料电池、电池）和阀门（DC/DC转换器）组成的网络。要对其动态进行建模，我们依赖于其关键无源元件的基本属性：
\begin{enumerate}
    \item \textbf{电感抵抗电流的变化：} 电感在磁场中储存能量。其电流 ($I_L$) 不能瞬时改变。必须在其两端施加电压才能使其电流随时间变化，这由法拉第电磁感应定律决定：$V = L \frac{dI}{dt}$。
    \item \textbf{电容抵抗电压的变化：} 电容在电场中储存能量。其电压 ($V_C$) 不能瞬时改变。必须有净电流流入才能使其电压随时间变化，这由电容的定义决定：$I = C \frac{dV}{dt}$。
\end{enumerate}
接下来的方程是这些原理以及基尔霍夫守恒定律的直接应用。

\subsection{自动化教授的观点：为控制而建模}
DC/DC转换器中的物理开关以极高的频率工作，远超运动控制器的处理能力。因此，我们采用\textbf{状态空间平均法 (State-Space Averaging)} 来创建一个平滑、连续的非线性模型，该模型适用于MPC优化器 。这涉及到重新定义我们的状态和控制变量，使其具有物理意义：
\begin{itemize}
    \item \textbf{新的状态变量：} 选择电感电流 ($I_{L\_fc}, I_{L\_batt}$) 和母线电容电压 ($V_{bus}$) 作为状态，因为它们代表了储存的电能并定义了系统的动态行为。
    \item \textbf{新的控制变量：} 抽象的功率指令被物理上的\textbf{占空比 (duty cycles)} ($d_{fc}, d_{batt}$) 所取代。这些是我们可以通过PWM信号实际操纵的输入，为MPC提供了直接的物理执行 levers。
\end{itemize}

\section{状态方程的详细解析}

\subsection{燃料电池电感电流动态方程}
\begin{equation}
    L_{fc} \frac{dI_{L\_fc}}{dt} = V_{fc}(I_{L\_fc}) - (1 - d_{fc})V_{bus}
\end{equation}

\subsubsection*{参数定义}
\begin{description}
    \item[$I_{L\_fc}$] \textbf{状态变量}: 燃料电池Boost转换器电感的电流 (A)。
    \item[$V_{bus}$] \textbf{状态变量}: 直流主母线电压 (V)。
    \item[$d_{fc}$] \textbf{控制变量}: 燃料电池Boost转换器的占空比 (无量纲, $0 \le d_{fc} \le 1$)。
    \item[$L_{fc}$] 系统参数: Boost转换器线圈的电感值 (H)。
    \item[$V_{fc}(I_{L\_fc})$] 物理特性: 燃料电池的输出电压，是关于汲取电流的非线性函数（极化曲线）\cite{[1]}。
\end{description}

\subsubsection*{物理与控制意义}
该方程是法拉第定律 ($V=L\dot{I}$) 的直接应用，描述了从燃料电池汲取的电流如何根据转换器电感两端的电压差而变化。从控制的角度看，这是\textbf{燃料电池的执行器模型}。它为MPC提供了一个预测模型，说明其控制输入 $d_{fc}$ 将如何影响电流 $I_{L\_fc}$，从而实现对燃料电池功率的精确调节。

\subsection{电池电感电流动态方程}
\begin{equation}
    L_{batt} \frac{dI_{L\_batt}}{dt} = V_{batt}(SOC, I_{L\_batt}) - (1 - d_{batt})V_{bus}
\end{equation}

\subsubsection*{参数定义}
\begin{description}
    \item[$I_{L\_batt}$] \textbf{状态变量}: 电池双向转换器电感的电流 (A)。放电为正，充电为负。
    \item[$d_{batt}$] \textbf{控制变量}: 电池转换器的占空比 (无量纲, $0 \le d_{batt} \le 1$)。
    \item[$L_{batt}$] 系统参数: 双向转换器线圈的电感值 (H)。
    \item[$V_{batt}(\cdot)$] 物理特性: 电池的端电压，由等效电路模型(ECM)决定，依赖于其荷电状态($SOC$)和电流 $I_{L\_batt}$ \cite{S_R15, S_R52}。
\end{description}

\subsubsection*{物理与控制意义}
该方程同样代表法拉第定律，并支配着电池的双向电流流动。如果母线侧的电压项大于电池电压，电流将流入电池，为其充电。对控制器而言，这是\textbf{电池的执行器模型}。它使MPC能够通过预测和约束电池电流 $I_{L\_batt}$ 及其衍生的荷电状态($SOC$)来管理电池健康。

\subsection{直流母线电压动态方程}
\begin{equation}
    C_{bus} \frac{dV_{bus}}{dt} = (1 - d_{fc})I_{L\_fc} + (1 - d_{batt})I_{L\_batt} - \frac{P_{load}(\{\Omega_i^2\})}{V_{bus}}
\end{equation}

\subsubsection*{参数定义}
\begin{description}
    \item[$C_{bus}$] 系统参数: 直流主母线电容的电容值 (F)。
    \item[$P_{load}(\cdot)$] 扰动函数: 电机所需的总功率，是电机转速指令 $\{\Omega_i^2\}$ 的函数。
\end{description}

\subsubsection*{物理与控制意义}
该方程代表了直流母线处的电荷守恒（基尔霍夫电流定律），通过电容的本构关系 ($I=C\dot{V}$) 表达。它表明母线电压的变化取决于流入源电流和流出负载电流之间的平衡。对于MPC来说，这是\textbf{核心耦合方程}。它将供应侧动态（由 $d_{fc}, d_{batt}$ 驱动）与需求侧动态（由电机指令 $\{\Omega_i^2\}$ 驱动）联系起来。控制器的首要任务是操纵占空比，以确保输入电流平衡输出负载电流，从而在负载功率 $P_{load}$ 快速变化时仍能维持母线电压 $V_{bus}$ 的稳定。

\begin{thebibliography}{9}
    \bibitem{S_R86} DC-DC converter modeling and simulation using state-space approach.
    \bibitem{S_R228} Small-signal models of dc-dc converters are often designed using a state-space averaging approach.
    \bibitem{S_R229} State-space averaging is now significantly utilized to model dc-dc converters and has proven to be the most realistic approach for building small-signal models.
    \bibitem{[1]} The fuel cell's output voltage, which itself depends on the current being drawn from it (the "polarization curve").
    \bibitem{S_R15} The terminal voltage of the battery, determined by its equivalent circuit model.
    \bibitem{S_R52} The battery's terminal voltage, which depends on its State of Charge (SOC) and the current.
\end{thebibliography}

\end{document}